Método de George Polya Para la Resolución de Problemas.

Método Polya.


Polya identifica cuatro etapas fundamentales en las cuales los métodos heurísticos juegan un papel muy importante; de manera general y simple estas etapas son:

Comprender el problema: En esta fase se plantean preguntas las cuales nos llevan a identificar las incógnitas, los datos y las condiciones del problema. Algunas de esas preguntas pueden ser:

• ¿Entiendes todo el enunciado del problema?
• ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
• ¿Cuál es la incógnita?
• ¿Cuales son los datos?
• ¿Cuál es la condición?
• ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita?
• ¿Es suficiente?
• ¿Redundante?
• ¿Contradictoria?

Concebir un plan: Una ves determinadas las condiciones del problema, la relación entre los datos y las incógnitas, el siguiente paso será examinar los conocimientos previos, relacionar el problema con problemas conocidos y similares o problemas auxiliares que te ayuden a resolverlo y así establecer un plan de solución. En esta fase se pueden plantear las siguientes preguntas:

•  ¿Se ha encontrado con un problema semejante?
•  ¿Ha visto el mismo problema planteado de manera ligeramente diferente?
•  ¿Conoce un problema relacionado con este?
• ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil?
• ¿Puede enunciar el problema de otra forma?
• Evaluar su plan
• ¿Está convencido de su plan?
• ¿Utiliza todos los datos, utiliza todas las condiciones?

Ejecución del plan: Llevar acabo el plan escogido comprobando cada uno de los pasos hasta solucionar el problema completamente, de ser posible, o hasta donde este permita desarrollarlo, luego considerar un nuevo plan; En esta fase se pueden plantear las siguientes preguntas:

• ¿Puede Ud. ver claramente que el paso es correcto?
• ¿Puede Ud. demostrarlo?

Examinar la solución obtenida: Una vez obtenida la solución del problema, realiza una revisión de cada uno de los pasos, para verificar que sean correctos, ya que puede haber errores si el razonamiento es demasiado largo y enredado, luego ver si se puede resolver de forma diferente y también si se puede generalizar la solución. En esta fase se pueden plantear las siguientes preguntas:

• ¿Puede Ud. Verificar el resultado?
• ¿Puede Ud. Verificar el razonamiento?
• ¿Puede obtener el resultado en forma diferente?
• ¿Puede verlo de golpe?
• ¿Puede Ud. Emplear el resultado o el método en algún otro problema?

Matemáticas con Resolución de Problemas.

Algunas Heuristicas de George Polya
Metodo George Polya
Taller de Suma de Polinomios

Poema Pi

La siguiente poesía es sobre el Número pi y es de Manuel Golmayo

¿Con esta poesía como puedo saber los primeros 19 decimales del número Pi?

Números enteros

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

 = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de losnúmeros enteros.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

|−a| = a

|a| = a
Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero.

−7 < 0

2.Todo número positivo es mayor que cero.

7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

−7 >− 10 |−7| < |−10|

4.De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7 |10| > |7|

Operaciones con números enteros

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2
Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:(Clausurativa o Cerrades)

a + b

3 + (−5)

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto:

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

−(−5) = 5

Resta de números enteros.

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros.

1.Interna:(Clausurativa o Cerrades)

a − b

10 − (−5)

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros.

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos.

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros.

1. Interna:(Calusurativa o Cerrades)

a · b

2 · (−5)

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros.

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros.

1. No es una operación interna:

(−2) : 6

2. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6